Дано точки А(3;-4), В(1;-1), С(-2;5). Знайти косинус кута АСВ.

Найдем сначала стороны предполагаемого треугольника:
$AB=\sqrt{(1-3)^2+(-1+4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\BC=\sqrt{(-2-1)^2+(5+1)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45} \\AC=\sqrt{(-2-3)^2+(5+4)^2}=\sqrt{25+81}=\sqrt{106}$
теперь применим теорему косинусов:
$AB^2=BC^2+AC^2-2*BC*AC*cos(ACB) \\cos(ACB)= \frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2*BC*AC} = \frac{45+106-13}{2\sqrt{45*106}} = \frac{69}{3\sqrt{530}} = \frac{23}{\sqrt{530}} = \frac{23\sqrt{530}}{530}$
Ответ: $\frac{23\sqrt{530}}{530}$