Построить график функции, очень подробно: y=(x-1)^2*(x+2)

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$y=(x-1)^2*(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x\\+x+2=x^3-3x+2$
график - кубическая парабола
берем производную:
$y'=3x^2-3$
находим экстремиумы
$3x^2-3=0 \\x^2-1=0 \\x^2=1 \\x_1=1;\ y_1=0;\ (1;0) \\x_2=-1;\ y_2=4;\ (-1;4)$
теперь промежутки возрастания убывания:
рассмотрим выражение x^2-1, его график - парабола, сдвинутая по oy на 1 вниз, поэтому в промежутке между корнями ее значение будет отрицательно => данное выражение(производная) отрицательна на [-1;1] и положительна на (-∞;-1]∪[1;+∞)
значит:
при $x \in [-1;1]$ - функция убывает
при $x \in (-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$ - функция возрастает
ищем выпуклость/вогнутость функции:
берем производную 2 порядка:
$y''=(y')'=(3x^2-3)'=6x$
6x=>0 при x=>0
6x=<0 при x=<0<br>значит при x∈ (-∞;0] - функция выпукла
а при x∈ [0;+∞) - вогнута
ищем точки пересечения с осями:
x=0; y=2 (0;2)
y=0; (x-1)^2*(x+2)=0
(-2;0), (1;0)
теперь можно построить график(см. приложение)

AnonimusPro_zn (150k баллов) 27 Май, 18

sedinalana_zn · Answer 1 · 2018-05-27T16:26:56+0000

Y=(x-1)²(x+2)
D(y)∈R
y(-x)=(-x-1)²(-x+2)=(x+1)²(2-x)ни четная,ни нечетная
Точки пересечения с осями ((1;0),(-2;0)
y`=2(x-1)(x+2)+1(x-1)²=(x-1)(2x+4+x-1)=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)=0
x=1 x=-1
+ _ +
-----------(-1)----------------------(1)--------------
возр max убыв min возр
y(-1)=4
y(1)=0
y``(x)=3(x+1)+3(x+1)=3(x+1+x-1)=3*2x=6x=0
x=0
_ +
----------------------(0)-----------------------
выпук вверх вогн вниз
y(0)=1*2=2
(0;2) точка перегиба