Пример 4. Исследовать ** сходимость следующие числовые ряды:

Question 1

Пример 4. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:

Question 2

1. Здесь можно сразу проверить на необходимый признак сходимости ряда
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1}= \frac{1}{2} \ne 0$

Условие необх. сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

2. По признаку Коши
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg( \frac{n}{5n+2}\bigg)^n } =\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+2} = \frac{1}{5} \ \textless \ 1$
Ряд является сходящимся.

3. $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \leq \dfrac{1}{ \sqrt{2} n^{1/2}}$

Поскольку $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^{1/2}}$ является сходящимся, то и исходный ряд тоже сходится по первому признаку сравнения

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-27T15:35:32+0000

1. Здесь можно сразу проверить на необходимый признак сходимости ряда
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1}= \frac{1}{2} \ne 0$

Условие необх. сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

2. По признаку Коши
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg( \frac{n}{5n+2}\bigg)^n } =\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+2} = \frac{1}{5} \ \textless \ 1$
Ряд является сходящимся.

3. $\displaystyle \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \leq \dfrac{1}{ \sqrt{2} n^{1/2}}$

Поскольку $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^{1/2}}$ является сходящимся, то и исходный ряд тоже сходится по первому признаку сравнения