Доказать , что функции f(x)и φ(x) при x→0 бесконечно малыми одного порядка малости...

Если $\lim\limits _{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi (x)} =const\ne 0$ , то $f(x)$ и $\varphi (x)$ одного порядка малости.

$\lim\limits _{x \to 0} \frac{x^2-cos2x}{6x^2} = \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}- \frac{cos2x}{6x^2} )= \lim\limits _{x \to 0} (\frac{1}{6}- \frac{1-2sin^2x}{6x^2} )=\\\\= \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2}+\frac{sin^2x}{3x^2} )= \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2} +\frac{x^2}{3x^2} )=\\\\= \Big [\, \frac{1}{6} -\infty +\frac{1}{3}\, \Big ]=\infty$

Величина $\varphi (x)=6x^2$ является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем величина $f(x)=x^2-cos2x$ .