1) 2) Сократите дробь

1.
1) Преобразуем числитель х⁴+1.
Выделим квадрат суммы:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
Далее разложим на множители, применив формулу разности квадратов:
a² - b² = (a-b)(a+b)

х⁴+1=(х⁴+2х²+1)-2х²=
= (х²+1)-2х² = (x²+1-x√2)(x²+1+x√2)
2)А теперь сократим дробь:

$\frac{ x^{4} +1}{ x^{2} +x \sqrt{2}+1 } = \frac{( x^{2} -x \sqrt{2}+1)( x^{2} +x \sqrt{2} +1) }{ x^{2} +x \sqrt{2} +1} = x^{2} -x \sqrt{2} +1$

2.
$\frac{9+3 \sqrt{3} }{9+ \sqrt{243} } = \frac{9+ 3\sqrt{3} }{9+ \sqrt{81*3} } = \frac{9+3 \sqrt{3} }{9+9 \sqrt{3} } = \frac{3(3+ \sqrt{3} )}{9(1+ \sqrt{3} )} = \frac{(3+ \sqrt{3} )*(1- \sqrt{3} )}{3(1+ \sqrt{3} )(1- \sqrt{3} )} = \frac{3+ \sqrt{3} -3 \sqrt{3} -3}{3*(1-3)}$ $= \frac{-2 \sqrt{3} }{3*(-2)} = \frac{ \sqrt{3} }{3}$