Помогите решить пожалуйста Найти частное решение дифференциального уравнения первого...

Небольшая поправка. По условию дано именно дифференциальное уравнение второго порядка! Из исходного условия можно понять, что это ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное!!!!

Осуществив замену $y=e^{kx}$ , получим следующее характеристическое уравнение.
$k^2-4=0$

$k=\pm2$

Тогда общее решение однородного уравнения примет вид:
$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}$ .

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия
$y'=-2C_1e^{-2x}+2C_2e^{2x}$

$\displaystyle \left \{ {{-1=C_1+C_2} \atop {17/4=-2C_1+2C_2}} \right.$ откуда $\displaystyle \left \{ {{C_1=- \frac{25}{16} } \atop {C_2=\frac{9}{16} }} \right.$

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ: $Y=- \frac{25}{16}e^{-2x}+\frac{9}{16}e^{2x}$