Точки A и B расположены на координатных осях плоскости xOy. Какую наименьшую длину может иметь отрезок AB, если ему принадлежит точка M( 1 ; 8 ) ?
гипотенуза прямоугольного треугольника имеет минимальную длину (по-моему, это надо как то доказать) когда он равнобедренный, т.е х=у
тогда |AB|^2=x^2+y^2
подставив точку получу |AB||^2=1^2+8^2=65
но может я и ошибаюсь....
Точка А(x₀;0) Точка B(0;y₀) Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂) (x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁) И точка M(1;8) лежит на прямой АВ (x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8) (x₀-1)/8 = -1/(y₀-8) (x₀-1)(y₀-8) = 8 y₀-8 = 8/(x₀-1) y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x₀-1) y₀ = 8x₀/(x₀-1) расстояние r = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²) Производная по x₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко) dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) Приравняем производную к нулю 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²)) = 0 Знаменатель отбросим 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²) = 0 x(1 - 64/(x-1)³) = 0 x₁ = 0 - не подходит 64/(x-1)³ = 1 (x-1)³ = 64 x-1 = 4 x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстояния x₀ = 5 y₀ = 8x₀/(x₀-1) = 40/4 = 10 И длина отрезка r = √(5²+10²) = √125 = 5√5
не могли бы вы написать подробнее переход от 3 строки к 4-ой?
и еще , r^2=....
Минимуму расстояния соответствует и минимум квадрата расстояния
почему производная от нее берется как от просто r? наверное надо выразит просто rа потом брать производную-или я не права?
Если минимумы функция совпадают - неважно, от какой функции искать минимум. От r производная хуже будет... сейчас попробую.
спасибо, еще по поводу 4-ой строки не объясните?
Это пропорциональность двух прямоугольных треугольников, построенных на точках A,B,M - это гипотенузы, а катеты параллельно осям координатам. Или уравнения прямой через две точки.
благодарю)
минимум квадрата расстояния беру постоянно. В производной корень уходит вниз, в знаменатель и больше на результат не влияет.
я все поняла, спасибо вам!