Даю 30 баллов!!! Срочно Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СТ....

Question

Даю 30 баллов!!! Срочно
Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СТ. Радиус окружности, вписанной в треугольник АСТ, равен 160, тангенс угла ВАС равен 15/8. Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС. Заранее спасибо!!! Ответ должен получиться 340.

Comments

Да, именно 340 и получилось.

Answer 1

Треугольники АСТ и АВС подобны. Зная тангенс угла А, найдём коэффициент подобия
k = a₂/a₁
a₁/b₁ = tg(∠A)
a₁ = b₁*tg(∠A)
По Пифагору
AB² = a₁²+b₁² = (b₁*tg(∠A))² + b₁² = b₁²(tg(∠A)² + 1)
AB = b₁√(tg(∠A)² + 1)
Площадь через катеты
S(ABC) = 1/2*a₁*b₁
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S(ABC) = 1/2*АВ*a₂
1/2*a₁*b₁ = 1/2*АВ*a₂
a₂ = a₁*b₁/AB = a₁/√(tg(∠A)² + 1)
k = a₂/a₁ = 1/√(tg(∠A)² + 1) = 1/√((15/8)² + 1) = 1/√(225/64+64/64) = 8/√289 = 8/17
Почти готово :) Коэффициент пропорциональности найден, и радиус вписанной в больший треугольник окружности
r₁ = r₂/k = 160/(8/17) = 20*17 = 340