Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

1)
Нули функций
$f(x)=|x+(a-5)|+|x-(a-5)|\\ x_{1}=a-5\\ x_{2}=5-a \\$
Значит функция
на отрезке
$(-\infty ; 5-a) \\ y=-2x \\$
на отрезке
$y=[5-a,a-5] \ y=2|a-5|\$
на отрезке
$(a-5,+\infty)\\ y=2x$

2)
Найдем при каких значениях не имеет решения уравнения
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=2x\\ x^4-4x^2+(a-5)^4=0\\ D=16-4(a-5)^4\ \textless \ 0\\ a \in ( -\infty; \ 5 - \sqrt{2}) \ \cap \ (5+\sqrt{2}; +\infty) \\$
Для $y=-2x$ аналогично.

3)
График функций   $y=\sqrt{x^4+(a-5)^4}$ - парабола , минимум которой, находиться в точке $B(0,(a-5)^2)$ .

4)
Значит для того чтобы, уравнение имело одно решение , нужно чтобы Ломанная $y=|x-(a-5)|+|x+(a-5)|$ а именно ее $y=2|a-5|$ часть была равна $B$ то есть
$2|a-5|=(a-5)^2 \\ a \geq 5\\ 2a-10=a^2-10a+25 \\ a^2-12a+35=0 \\ (a-5)(a-7)=0\\ a=5, \ a=7\\\\ a\ \textless \ 5\\ 10-2a=a^2-10a+25 \\ a^2-8a+15=0 \\ (a-3)(a-5)=0\\ a=3, \ a=5\\$

Но $a=5$ не подходит так как он не входит в отрезок описанный в пункте 2.

5) Ответ   $a=3,a=7$