Решите пожалуйста: 1) x^4*y' + x^3*y' = 4 2) y''*y^3 +50 = 0 Буду очень благодарен....

0 голосов
18 просмотров

Решите пожалуйста:
1) x^4*y' + x^3*y' = 4
2) y''*y^3 +50 = 0
Буду очень благодарен. Спасибо

Математика (15 баллов) | 18 просмотров
0

Несколько раз замечал, что что-то пишут под этой записью, но никто не публикует =(

оставил комментарий (15 баллов)
0

Долго писать решение, поэтому и ответ долго ждёте...Пишу вам ответ.

оставил комментарий (831k баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

1)\; \; x^4\cdot y'+x^3\cdot y'=4\\\\y'\cdot x^3\cdot (x+1)=4\\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{4}{x^3(x+1)} \; \; \to \; \; \; \frac{1}{4} \int dy=\int \frac{dx}{x^3(x+1)}\\\\\frac{1}{x^3(x+1)}=\frac{A}{x^3}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x}+ \frac{D}{x+1}\; \; \to \\\\1=A(x+1)+Bx(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^3\\\\x=0\; \;\to \; \; A=1\\x=-1\; \; \to \; \; D=-1\\\\x^3\; |\; 0=C+D\; \; \to \; \; \; C=-D=1\\x^2\; |\; 0=B+C\; \; \to \; \; B=-C=-1\\\\\frac{1}{4}\int dy=\int \frac{dx}{x^3}-\int \frac{dx}{x^2}+\int \frac{dx}{x}-\int \frac{dx}{x+1}

\frac{1}{4}\, y= \frac{x^{-2}}{-2}-\frac{x^{-1}}{-1}+ln|x|-ln|x+1|+C\\\\\frac{1}{4}\, y=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x} +ln\Big |\frac{x}{x+1} \Big |+C\\\\y=-\frac{2}{x^2}+\frac{4}{x}+4\, ln\Big | \frac{x}{x+1} \Big |+4C\qquad (\; mozno:\; \; 4C=C_1\, )

2)\; \; y''\cdot y^3+50=0\\\\y'=p(y)\; ,\; \; y''=p\cdot \frac{dp}{dy}\\\\p\cdot \frac{dp}{dy}\cdot y^3= -50\; ,\; \; p\cdot \frac{dp}{dy}=-50\cdot \frac{dy}{y^3} \\\\\int p\cdot dp=-50\cdot \int \frac{dy}{y^3}\\\\ \frac{p^2}{2}=-50\cdot \frac{y^{-2}}{-2}+C^{*}\\\\p^2=\frac{50}{y^2}+2C^{*} \; \; ,\; \; \; C_1=2C^{*}\\\\p^2= \frac{50+C_1\cdot y^2}{y^2} \\\\p=\pm \sqrt{\frac{50+C_1\cdot y^2}{y^2}}\; \; ,\; \; \; p=\pm \frac{\sqrt{50+C_1\cdot y^2}}{y}\\\\p=y'=\frac{dy}{dx}=\pm \frac{\sqrt{50+C_1\cdot y^2}}{y}

\int \frac{y\cdot dy}{\sqrt{50+C_1\cdot y^2}}=\int dx\\\\\star [\; t=50+C_1\cdot y^2\; ,\; \; dt=2C_1y\, dy\; ]\\\\\frac{1}{2C_1} \int \frac{2C_1\cdot y\, dy}{\sqrt{50+C_1\cdot y^2}} =x+C_2\\\\ \frac{1}{2C_1}\cdot 2\, \sqrt{50+C_1\cdot y^2}=x+C_2\\\\50+C_1\cdot y^2=C_1^2(x+C_2)^2\\\\C_1\cdot y^2=C_1^2\, (x+C_2)^2-50\\\\\underline {y^2=C_1\, (x+C_2)^2-\frac{50}{C_1}}
(831k баллов)
Похожие задачи