Двести баллов! Решить систему уравнений, a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a

Question 1

Двести баллов! Решить систему уравнений, a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a
$\frac{a^{2}+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+a} = 2a + 1$
$\frac{b^{2}+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+b} = 2b + 1$
$\frac{c^{2}+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+c} = 2c + 1$

Question 2

Спасибо, но я не уверен, что она симметрична!

Question 3

Пожалуйста, покажите, как применить эту теорему?

Question 4

Хотя. Нужно подумать. Замена там не стандартная

Question 5

Симметричные уравнения имеют только одно решение и при этом a=b=c

Question 6

системы уравнений *

Question 7

Помню теорему(о решении ...)

Question 8

Не помню название

Question 9

давно было

Question 10

Это важная теорема, нет ли ее доказательства?

Question 11

Её доказали недавно. Есть

Question 12

$\frac{a^2+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+a} = 2a+1\\ \frac{b^2+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+b} = 2b+1\\ \frac{c^2+2}{(a-b)(b-c)(c-a)+c} = 2c+1 \\\\$
Или
$(a-b)(b-c)(c-a)+a = \frac{a^2+2}{2a+1}\\ (a-b)(b-c)(c-a)+b =\frac{b^2+2}{2b+1}\\ (a-b)(b-c)(c-a)+c = \frac{c^2+2}{2c+1} \\\\ a \neq b \neq c \neq -\frac{1}{2}$
Отнимем от первого второе , итд.
$a-b = \frac{a^2+2}{2a+1}-\frac{b^2+2}{2b+1} \\ b-c = \frac{b^2+2}{2b+1}-\frac{c^2+2}{2c+1} \\ a-c = \frac{a^2+2}{2a+1}-\frac{c^2+2}{2c+1}$
Заметим что
$\frac{a^2+2}{2a+1}-\frac{b^2+2}{2b+1} = \frac{(a^2+2)(2b+1)-(b^2+2)(2a+1)}{(2a+1)(2b+1)} = \frac{2a^2b+a^2+4b+2-2b^2a-b^2-4a-2}{(2a+1)(2b+1)}=\\ \frac{2ab(a-b)+(a-b)(a+b)+4(a-b)}{(2a+1)(2b+1)} = \frac{(a-b)(2ab+a+b-4)}{(2a+1)(2b+1)}$
Так как $a \neq b$ то
$2ab+a+b-4=(2a+1)(2b+1)\\ 2bc+b+c-4=(2b+1)(2c+1)\\ 2ac+a+c-4=(2a+1)(2c+1)\\\\$
Так же отнимая от первого второе , получаем
$2b(a-c)+a-c=(2b+1)(2a-2c)\\ (a-c)(2b+1)=2(2b-1)(a-c)\\ a \neq c \\$
Решений нет, следовательно решения будут существовать при $a=c$ откуда
$\frac{c^2+2}{c}=2c+1\\ c^2+2=2c^2+c\\ c^2+c+2=0\\ (c+2)(c-1)=0\\ c=1;-2$
Значит не существуют решения, при $a \neq b \neq c$