функция (x+7)/(x-4)^2
Область определения функции. ОДЗ: от -00 до +00 кроме
точки, в которых функция точно неопределена:
x=4
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в (x+7)/(x-4)^2.
Результат: y=7/16. Точка: (0; 7/16)
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:
(x+7)/(x-4)^2 = 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x=-7. Точка: (-7, 0)
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут
экстремумами данной функции:
y'=(x - 4)^(-2) - 2*(x + 7)/(x - 4)^3=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
x=-18. Точка: (-18, -1/44)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а
также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя
функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
-18
Максимумов у функции нету
Возрастает на промежутках: [-18, oo)
Убывает на промежутках: (-oo, -18]
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить
уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного
уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:
y''=-4/(x - 4)^3 + 6*(x + 7)/(x - 4)^4=0
lim y'' при x->+4
lim y'' при x->-4
(если эти пределы не равны, то точка x=4 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
x=-29. Точка: (-29, -2/99)
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для
этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:
Вогнутая на промежутках: [-29, oo)
Выпуклая на промежутках: (-oo, -29]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x=4
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной
функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:
lim (x+7)/(x-4)^2, x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim (x+7)/(x-4)^2, x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной
функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :
lim (x+7)/(x-4)^2/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim (x+7)/(x-4)^2/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа
Четность и нечетность функции:
Проверим функцию четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:
(x+7)/(x-4)^2 = (-x + 7)/(-x - 4)^2 - Нет(x+7)/(x-4)^2 = -((-x + 7)/(-x - 4)^2) - Нет
значит, функция не является
ни четной ни нечетной