Подписать договор (соглашение, обычно письменное, о взаимных обязательствах) - договорённость между товарищами (соглашение, согласованность на основе предварительных переговоров) .
южная здравница (санаторий) - провозгласить здравицу (тост)
Прослыть невежей (грубым) - невежда в математике ((малообразованный)
основание треугольника, по всем основаниям (признакам) - обоснование вывода (доказательство)
Патронаж педиатора (мед. помощь на дому) - патронат над ребёнком (форма воспитания детей без родителей в семьях по поручению государства)
общественное признание (оценка по достоинству) - выразить признательность (благодарность)