При яких значеннях b має два дійсні різні корені рівняння: x²-4bx+3b+1=0

2 корня будет, если дискриминант больше нуля.
$d = 16 {b}^{2} - 12b - 4$
График уравнения - парабола, ветки вверх. Найдем корни.
$16 {b}^{2} - 12b - 4 = 0 \\ 4 {b}^{2} - 3b - 1 = 0 \\ d = 9 + 16 = 25 \\ b = \frac{3 + 5}{8} = 1 \\ b = \frac{3 - 5}{8} = - \frac{1}{4}$
Итого, первый дискриминант будет положителен, если b принадлежит интервалам (-беск, -1/4) и (1, +беск.)