Цитата из Толкового словаря Ушакова:
ТРЕТНО́Й, третная, третное (разг. устар.). прил. к треть, составляющий треть. Третная прибавка.|| За треть года. Третная ведомость. Третное жалованье.
Теперь отвечаем на вопрос:
Жалованье за треть года.
Год 12 месяцев.
Треть года: 12 : 3 = 4 месяца
Значит, чиновники перед Новым годом получают жалованье за 4 месяца.