Пусть ABCD — данная трапеция, AD и BC — ее основания, O — точка пересечения диагоналей AC и BD этой трапеции. Докажем, что треугольники AOB и COD имеют одинаковую площадь. Для этого опустим из точек B и C на прямую AD перпендикуляры BP и CQ. Тогда площадь треугольника ABD равна
а площадь треугольника ACD равна
Так как BP = CQ, то и S∆ABD = S∆ACD. Но площадь треугольника AOB есть разность площадей треугольников ABD и AOD, а площадь треугольника COD — разность площадей треугольников ACD и AOD. Следовательно, площади треугольников AOB и COD равны, что и требовалось доказать.
Суть. Треугольники АBD и CBD, равны по площади так как у них одинаковые по длине высоты, а основание одно и то же
Вычев от обоих площадей площадь треугольника AOD
получим равенство площадей требуемых треугольников