Интеграл 3.18 даю 36бал

Question

Дан 1 ответ

Samno_zn · Answer 1 · 2018-05-18T08:32:43+0000

#3.18
$\int\limits { \frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} } \, dx$
$\frac{x^{2}+2}{x^{2}-4} = \frac{x^{4}}{x^{2}-4} + \frac{2}{x^{2}-4}$

Далее применяем правило суммы:
$= \int\limits { \frac{x^{4}}{x^{2}-4} } dx+ \int\limits { \frac{2}{x^{2}-4} } \, dx$
$\int\limits { \frac{x^{4}}{-(-x^{2}+4} } \, dx$ =>извлекаем константу (C)
$=- \int\limits { \frac{x^{4}}{-x^{2}+4} } \, dx$ =>применяем подстановку интеграла:
$=- \int\limits { \frac{8u^{4}}{-u^{2}+1} } \, du$ =>извлекаем константу
$=-8* \int\limits { \frac{u^{4}}{-u^{2}+1} } \, du$
$\frac{u^{4}}{-u^{2}+1} =-u^{2}+ \frac{u^{2}}{-u^{2}+1}$
$=-u^{2}-1+ \frac{1}{-u^{2}+1} =-8* \int\limits {-u^{2}-1+ \frac{1}{-u^{2}+1} } \, du$ => снова правило суммы:
$=-8(- \int\limits {u^{2}du- \int\limits {1} \, du + \int\limits { \frac{1}{-u^{2}+1} du} } )$
$\int\limits {u^{2}du= \frac{u^{2+1}}{2+1} = \frac{u^{3}}{3}$
$\int\limits {1du}=u$
$\int\limits { \frac{1}{-u^{2}+1} } du= \frac{ln|u+1|}{2} - \frac{ln|u-1|}{2}$
$=-8( -\frac{u^{3}}{3} -u+ \frac{ln|u+1|}{2} - \frac{ln|u-1|}{2}$ => делаем обратную замену u=x/2:
$=-8( -\frac{( \frac{x}{2} )^{3}}{3}- \frac{x}{2}+ \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2} - \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$\frac{ (\frac{x}{2})^{3} }{3}= \frac{x^{3}}{2^{3}*3}$
$=-8(- \frac{x^{3}}{2^{3}*3}- \frac{x}{2}+ \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2} - \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$2^{3}*3=24$
$=-8(- \frac{x^{3}}{24}- \frac{x}{2}+ \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2} - \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$=-8 (-\frac{x^{3}}{24}- \frac{x}{2}+ \frac{1}{2}ln| \frac{x}{y} +1|- \frac{1}{2} ln | \frac{x}{2} -1|)$
$\int\limits \frac{2}{x^{2}-4} dx=2* \int\limits \frac{1}{x^{2}-4}dx$ => применяем подстановку x=2u:
$=2* \int\limits \frac{1}{2(u^{2}-1)}du=2* \frac{1}{2}* \int\limits \frac{1}{u^{2}-1}du$
$=2* \frac{1}{2} * \int\limits \frac{1}{-(-u^{2}+1)}du=2* \frac{1}{2} (- \int\limits \frac{1}{-u^{2}+1}$
$=1* \frac{1}{2} (-( \frac{ln|u+1|}{2}- \frac{ln|u-1|}{2} ))$ => обратная замена u=x/2:
$2* \frac{1}{2} (-( \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2} - \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2}))$ => упрощаем:
$=2* \frac{1}{2} ( \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2}- \frac{ln| \frac{x}{2} |-1}{2} )$
$= \frac{1*2( \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2}- \frac{ln |\frac{x}{2} -1|}{2} )}{2}$
$= -\frac{2 \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2}- \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2} }{2}$
$=- \frac{ln | \frac{x}{2}+1| }{2}- \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2}$
$=- \frac{ln| \frac{x}{2}+1 |}{2}+ \frac{ln| \frac{x}{2}-1 |}{2}$
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+ln%7C+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B1+%7C%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+ln%7C+%5C