A)
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN||AC, MN=AC/2
△MDK~△ADC (по соответственным углам при MK||AC)
MD= BM-BD =AB/2 -AB/3 =AB/6
AD= AM+MD =AB/2 +AB/6 =4AB/6
k= MD/AD =1/4
MK= AC*k =AC/4 =MN/2
Площадь треугольника, отсекаемого средней линией, равна четверти площади исходного треугольника.
S(MBN)=S(ABC)/4
K - середина MN, BK - медиана MBN. Медиана делит треугольник пополам. S(KBN)=S(MBN)/2=S(ABC)/8
Высоты и основания треугольников KBN и KCN равны (BN=CN), следовательно их площади равны. S(KCN)=S(ABC)/8
b)
C1E||AD
△C1BE~△ABC (по соответственным углам при C1E||AC)
C1B=AB/5 => BE=BC/5
A1C=BC/3
A1E= BC-BE-A1C =BC -BC/5 -BC/3 =7BC/15
A1C/A1E= BC/3 :7BC/15 =5/7
△A1CD~△A1EC1 (по соответственным углам при CD||C1E)
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(A1CD)/S(A1EC1)= (A1C/A1E)^2 =25/49
S(C1BE)=S(ABC)/25
S(C1BA1)=C1B*BA1*sinB /2
S(ABC)=AB*BC*sinB /2
S(C1BA1)/S(ABC)= C1B/AB *BA1/BC =1/5 *2/3 =2/15
S(A1EC1)= S(C1BA1)-S(C1BE) =2S(ABC)/15 -S(ABC)/25 =7/75 *S(ABC)
S(A1CD)= 25/49 *S(A1EC1) =25/49 *7/75 *S(ABC) =S(ABC)/21
