Решите уравнение :5^(2x)=3^(2x)+2*5^x+2*3^x

Представим уравнение в виде $5^{2x}-2\cdot5^x+1=3^{2x}+2\cdot3^x+1$

Заметим, что в левой и правой сторонах уравнения стоят полные квадраты. Перенесём всё в одну часть и разложим по формуле разности квадратов.
$(5^x-1)^2=(3^x+1)^2\\ (5^x-1)^2-(3^x+1)^2=0\\ (5^x+3^x)(5^x-3^x-2)=0\quad|:5^x+3^x\ \textgreater \ 0\\ 5^x-3^x-2=0\\ 5^x-3^x=2$

Подбором находим корень x = 1.

Других корней у уравнения нет:

- При x > 0 функция
$y(x)=5^x-3^x=3^x\left(\left(\dfrac53\right)^x-1\right)$
возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций, поэтому на этом промежутке у уравнения может быть не более одного корня.
- При x ≤ 0 $5^x-3^x\leqslant5^x\leqslant5^0=1$

Ответ. x = 1