Найти предел с помощью второго замечательного предела

Для всех x в области определения, выполняется:

$\displaystyle \left( \frac{7x+3}{7x-1} \right)^{2x}=\left( \frac{7x-1+4}{7x-1}\right)^{2x}= \left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{2x} =\\\\=\left (\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1}\right)^{ \frac{2x}{7x-1} }$

Теперь по отдельности находим предел выражения и степени:

1. Через замену $y=7x-1$ получаем:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1} =\lim_{y \to \infty} \left (1+\frac{4}{y}\right)^{y}=e^4$

(следствие из второго замечательного предела)

2.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{7x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{7- \frac{1}{x} } = \frac{2}{7}$

Следовательно:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left (\left (1+\frac{4}{7x-1}\right)^{7x-1}\right)^{ \frac{2x}{7x-1} }=(e^4)^{2/7}=e^{8/7}$