Task/26756111
------------------
Докажите, что число ∛(20 +14√2) + ∛(20 -14√2) рациональное.
---------------------
Первый способ
∛(20 +14√2) + ∛(20 -14√2) = t
( ∛(20 +14√2) + ∛(20 -14√2) )³ = t³ ;
20 +14√2 + 20 -14√2 +3∛(20 +14√2)*∛(20 -14√2)* t =t³ ;
* * * (a+b)³ =a³+3a²b +3ab²+b³ =a³+b³ +3ab(a+b) * * *
40 +3*∛(20² -14²*2) *t =t³ ; * * *(20 +14√2)*(20 -14√2)=20² -14²*2=8 * * *
t³ - 6t - 40 =0 ; t =4 корень этого уравнения
* один из делителей свободного члена:±1,±2 ,±4,±5 ,±8 ;±10,±20,±40 *
t³ - 64 - 6t +24 =0 ; * * *
(t³ - 4³) - 6(t - 4) = 0 ;
(t -4)(t² +4t +16) -6(t-4)=0 ;
(t - 4)t² +4t +16 - 6) =0 ;
(t - 4)(t² +4t +10) =0 ;
* * * можно было t³ - 6t - 40 разделить на (t-4) столбиком или по схеме Горнера * * *
t² +4t +10 =0 не имеет действительных корней D₁ =(4/2)² -10 = - 6 <0 <br>Второй способ
20 +14√2 =8 +12√2 +12 + 2√2 =2³ +3*2²√2 +3*2(√2)² +(√2)³ =(2+√2)³ ;
20 -14√2 =8 -12√2 +12 - 2√2 =2³ - 3*2²√2 +3*2(√2)² - (√2)³ =(2-√2)³ ;
∛(20 +14√2) + ∛(20 -14√2)=∛(2+√2)³ +∛(2-√2)³ =2+√2 +2-√2 = 4 .