Исследовать функцию ** монотонность и найти экстремумы y=-2/3x³+5/2x²-2x-10

0 голосов
171 просмотров

Исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы
y=-2/3x³+5/2x²-2x-10


Алгебра (115 баллов) | 171 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Для исследований такого типа нужно брать производную, смотреть ее знаки и нули.
в нашем случае
y = - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x - 10
y' = - \frac{3*2}{3}x^2 + \frac{2*5}{2}x - 2 = -2x^2 + 5x - 2
Рассмотрим нашу производную y' = -2x^2 + 5x - 2
и посмотрим, когда она обращается в 0. Также используем метод интервалов, вам он должен быть знаком
y' = -2x^2 + 5x - 2 = 0
 \\ 
y_1, y_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4*2*2}}{2*(-2)} = \frac{5 \pm 3}{4} = \\ 
y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = 2 \\ 
y' = (x - \frac{1}{2})(x - 2)
Соответственно точки y_1, y_2 будут экстремумами (т.к. производная функции в этих точках обращается в 0)
А промежутки монотонности следующие:
(- \infty , \frac{1}{2} ) функция убывает и в точке \frac{1}{2} локальный минимум, 
с ( \frac{1}{2} , 2) возрастает и в т. 2 локальный максимум,
а с ( \frac{1}{2} , + \infty) снова убывает.

(1.6k баллов)