Радиус вектор частицы относительно неподвижной оси изменяется со временем по закону: r =...

Question

Радиус вектор частицы относительно неподвижной оси изменяется со временем по закону:
r = a*sin(wt) + b*cos(wt) где a и b постоянные векторы, причем a перпендикулярен b.

Найти: Уравнение траектории в координатах y = f(x), взяв за направление осей направления векторов a и b.

Скорость частицы

Ускорение частицы

Answer 1

1)
Имеем:
X = sin (ω*t)
Y = cos (ω*t)

Чтобы найти ТРАЕКТОРИЮ необходимо исключить из уравнений ВРЕМЯ.
Возведем обе части в квадрат и сложим:
X² = sin² (ω*t)
Y² = cos² (ω*t)

X² + Y² = 1²    (поскольку  sin² (ω*t)+ cos² (ω*t) = 1)

Получили уравнение ОКРУЖНОСТИ с центром в начале координат и радиусом R=1 м.

2)
Чтобы найти скорость частицы найдем производные от координат:

Vₓ =(X)' = (sin (ω*t))' = ω* cos (ω*t)              (1)
Vy = (Y)' = (cos (ω*t))' = - ω* sin (ω*t)          (2)

Возведем в квадрат и сложим (1) и (2). Получаем, как было сделано выше)
V = √(ω² + ω²) = √2*ω  м/с     (сумма квадратов тригонометрических величин опять равна 1.

3)
Ускорение - производная от скорости.
Проделав аналогичные рассуждения, получаем:
a = √(ω⁴ + ω⁴) = √2*ω²  м/с²