Дана функция y=sqrt(8x-x^2-12) Найти область значения и определения значения функции

$y=\sqrt{8x-x^2-12}$

Область определения этой функции задаётся такими $x$ , при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим соответствующее неравенство:
$8x-x^2-12\geqslant0 \\ x^2-8x+12\leqslant0 \\ x_0= \dfrac{8\pm\sqrt{8^2-4\cdot12}}{2} =6 \ ; \ 2 \\ (x-6)(x-2)\leqslant0 \\ 2\leqslant x\leqslant6 .$

$y=\sqrt{8x-x^2-12}=\sqrt{-(x^2-8x+12)}=\sqrt{-((x-4)^2-4)}=$
$=\sqrt{-(x-4)^2+4} .$
Теперь проведём цепочку преобразований, в конце которой придём к данному выражению:
$(x-4)^2\geqslant0 \\ -(x-4)^2\leqslant0 \\ -(x-4)^2+4\leqslant4 \\ 0\leqslant\sqrt{-(x-4)^2+4}\leqslant2$

Ответ: $D(y)=x\in[2;6] \ , \ E(y)=y\in[0;2].$