Ошибки:
1.Неправильно: Yes, I am. I think I be going to go homenow
Правильно: Yes, I am. I think I am going to go home now.
Объяснение: "to be going to" — это неопределённая форма. А тут ставим "I am going to", потому что стоит "I" ("я"), личное местоимение первого лица единственного числа, а "am" — глагол "to be" в первом лице единственного числа.
2. Неправильно: I think he be going to give you one.
Правильно: I think he is going to give you one.
Объяснение: та же самая ошибка, что и предыдущая. В этом предложении также надо писать "is", потому что тут личное местоимение "he" 3 лица (единственного числа), а также потому, что "is" — глагол "to be" в 3 лице (единственного числа).
3.Неправильно: I be going to open the window.
Правильно: I am going to open the window.
Объяснение: тут одна и та же ошибка, что и в первом, и объяснение будет то же самое, так что см. пункт 1.
Вывод: при использовании "to be going to" надо убирать "to" и вместо "be" ставить соответствующий глагол "to be" (в зависимости от личного местоимения, которое используется).
Все ошибки в трёх предложениях, где вы ошиблись, были допущены по одной и той же причине: по незнанию, как использовать "to be going to".