Может ли отсутствовать грамматическая основа в предложении?
Нет. не может т.к. гр. основа может состоять либо из 1 подлежащего либо из 1 сказуемого. Белый лебедь.
спс
По моему нет, если нету грамматической основы это уже не предложение, а допустим словосочетание