Функция y = 2x/(x^2-1).
Область определения функции. ОДЗ:
от -00 до +00, кроме точек, в которых функция точно неопределена:
x=1, x=-1
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2*x/(x^2-1).
Результат: y=0. Точка: (0, 0)
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:
2*x/(x^2-1) = 0
Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=0. Точка: (0, 0)
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут
экстремумами данной функции:
y'=-4*x^2/(x^2 - 1)^2 + 2/(x^2 - 1)=0
(Производную находим онлайн, a уравнение решаем здесь)
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
Не удалось получить решение уравнения. Попробуйте сами и у вас получится!
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить
уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного
уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:
y''=16*x^3/(x^2 - 1)^3 - 12*x/(x^2 - 1)^2=0
lim y'' при x->+1
lim y'' при x->-1
(если эти пределы не равны, то точка x=1 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-1
lim y'' при x->--1
(если эти пределы не равны, то точка x=-1 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
x=0. Точка: (0, 0)x=1. Точка: (1, oo)x=-1. Точка: (-1, -oo)
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для
этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:
Вогнутая на промежутках: (-oo, 0]
Выпуклая на промежутках: [0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x=1
,
x=-1
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной
функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим
lim 2*x/(x^2-1), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 2*x/(x^2-1), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной
функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы lim 2*x/(x^2-1)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 2*x/(x^2-1)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа
Четность и нечетность функции:
Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:
2*x/(x^2-1) = -2*x/(x^2 - 1) - Нет2*x/(x^2-1) = -(-2*x/(x^2 - 1)) - Да
значит, функция является
нечётной