Ну, вообщем) Я немного подумал, и кое-что надумал, но за правильность не ручаюсь)
Мы имеем равносторонний треугольник со стороной a=2корень(3). Значит мы можем найти радиус вписанной окружности и высоту треугольника:
r1=a/2корень(3)=1 см;
h1=a*корень(3)/2=3 см;
Диаметр окружности равен 2-ум радиусам: d1=2r1=2 см;
Если отнять от высоты нашего треугольника диаметр окружности, то мы получим высоту следующего, более маленького равностороннего треугольника: h2=h1-d1=1 см;
Теперь мы знаем, что высота более маленького треугольника относится к большему как 1 относится к 3: h2/h1=1/3;
Если диаметр равностороннего треугольника выразить через его высоту, получится d=2h/3;
По заданию нам нужно найти сумму длин все окружностей. P=P1+P2+...+Pn; Длина окружности равна P=dп;
Значит длина всех окружностей будет равна P=п(d1+d2+...+dn);
Диаметры окружностей вписанных в треугольники будут относится друг к другу также, как относятся друг к другу высоты этих треугольников (т.к. мы вывели формулу d=2h/3):
d2/d1=h2/h1=1/3;
Наши диаметры буду представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3;
Формула суммы n членов геометрической прогрессии:
Sn=(b1(1-q^n))/(1-q) , где b1=d1=2 см, а q=1/3 (т.к. кругов бесконечное множество, то n=бесконечность);
P=п(d1+d2+...+dn)=пSn=п(2(1-(1/3^бесконечность))/(1-1/3)=6п/2 * (1-(1/3^бесконечность)=3п - п/3^бесконечность.
Ответ: 3п - п/3^бесконечность.