Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. Сколько решений имеет следующее уравнение? S(n) + S во 2 степени (n) + . . . + S в 2016 степени (n) = 2017 в 2017 степени . Здесь S в 2 степени (n) = S(S(n)), S в 3 степени (n) = S(S в 2 степени (n)), S 4 (n) = S(S в 3 степени (n)) и т. д.
Сумма цифр числа дает такой же остаток при делении на 3, что и само число, поэтому в введеных в условии терминах имеет такой же остаток, что и n при делении на 3 (k - произвольное натуральное число). Пусть n дает остаток t при делении на 3. Левая часть равенства дает остаток 2016 * t при делении на 3. 2016 делится на 3, поэтому сумма делится на 3 для любого n. 2017 дает остаток 1 при делении на n, а значит также дает остаток 1 при делении на 3. Левая и правая части равенства имеют различные остатки при делении на 3, поэтому решений нет. Ответ: уравнение имеет 0 решений