Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1. уравнение стороны ab 2. уравнение высоты Ch 3....

Question

181 просмотров

Даны вершины треугольника ABC. Найти:
1. уравнение стороны ab
2. уравнение высоты Ch
3. уравнение медианы am
4. точку n пересечения медианы am и высоты Ch
5. уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab
6. расстояние от точки c до прямой ab

Координаты вершин : A(-4;2) B(8;-6); C(2;6)

Математика AnnBernstein_zn (253 баллов) 17 Май, 18 | 181 просмотров

Дан 1 ответ

SkipperF_zn · Answer 1 · 2018-05-17T20:53:04+0000

$A(-4;2), \ B(8;-6), \ C(2;6).$

1) Уравнение стороны $AB$ это уравнение прямой, проходящей через точки $(-4;2)$ и $(8;-6)$ . Исходя из этого составим систему уравнений: $\begin{cases} & -4a+b=2 \\ & 8a+b=-6 \end{cases}$
Откуда после вычитания второго из первого получим $a=- \dfrac{2}{3}$ и $b= -\dfrac{2}{3}$ . Получили, что сторона $AB$ задаётся уравнением $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$ .

2) Прямые, заданные уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ будут перпендикулярны, если $k_1\cdot k_2 =-1$ , коэффициенты $k_1$ и $k_2$ называются угловыми коэффициентами.
Нам же нужно найти уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$ . Тогда $k_2= \dfrac{-1}{k_1} = \dfrac{-1}{ -\dfrac{2}{3}} =1,5$ , где $k_2$ - это угловой коэффициент прямой $CH_C$ . Получаем, что эту прямую можно записать в виде $y=1,5x+b$ . Теперь, зная, что эта прямая проходит через точку $(2;6)$ , найдём $b$ :
$1,5\cdot2+b=6$ , откуда $b=3$ . Получается, что высота $CH_C$ задаётся уравнением $y=1,5x+3$ .

3) Медиана $AM_A$ делит отрезок $BC$ пополам. Вычислим координаты середины отрезка $BC$ , т.е. точку пересечения медианы со стороной $BC$ : $M_A\left( \dfrac{2+8}{2}; \dfrac{6+(-6)}{2} \right)=M_A\left(5;0\right)$ .
Получается, что медиана проходит через точки $(5;0)$ и $(-4;2)$ . Найдём её уравнение по этим данным:
$\begin{cases} & a\cdot5+b=0 \\ & a\cdot(-4)+b=2 \end{cases}$
Откуда получаем $a= -\dfrac{2}{9}$ и $b= \dfrac{10}{9}$ .
Значит, медиана задаётся уравнением $y= -\dfrac{2}{9} x+ \dfrac{10}{9}$ .

4) Точку пересечения $N$ медианы $AM_A$ и высоты $CH_C$ найдём, решив соответствующую систему уравнений:

$\begin{cases} & y=-\frac{2}{9}x+\frac{10}{9} \\ & y=\frac{3}{2}x+3 \end{cases}\ \ \Leftrightarrow \ -\frac{31}{18}x=\frac{17}{9} \\ \Leftrightarrow \ x=-\frac{34}{31} \ ; \ \ y=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{34}{31}\right)+3=\frac{42}{31} .$

Получили, что медиана $AM_A$ и высота $CH_C$ пересекаются в точке $N\left( -\dfrac{34}{31} ; \dfrac{42}{31} \right)$ .

5) Семейство прямых, параллельных прямой $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$ , выглядит следующим образом: $y= -\dfrac{2}{3} x+b$ . Нам нужно, чтобы эта параллельная прямая проходила через точку $(2;6)$ .
Решаем соответствующее уравнение: $6= -\dfrac{2}{3} \cdot2+b$ , откуда $b= \dfrac{22}{3}$ .
Получили, что нужная нам прямая задаётся уравнением $y=- \dfrac{2}{3}x + \dfrac{22}{3} .$

6) Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$ вычисляется по формуле $d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Нам нужно расстояние от точки $C(2;6)$ до прямой $y=- \frac{2}{3}x- \frac{2}{3} \ \ \Leftrightarrow \ \ 3y+2x+2=0$ .
Подставляем:
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D+%5Cdfrac%7B%7C2%5Ccdot2%2B3%5Ccdot6%2B2%7C%7D%7B%5Csqrt%7B3%5E2%2B2%5E2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7B24%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D" id="TexFormula55" title="d= \dfrac{|2\cdot2+3\cdot6+2|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \dfrac{24}{\sqrt{13}}