В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите,...

Question

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из
которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от
вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

ПОДРОБНОЕ решение С ЧЕРТЕЖОМ, пожалуйста с:

Answer 1

Задача а)
ДАНО
b = 2*a - основание в 2 раза больше.
AB = CD -  равнобедренная трапеция.
ДОКАЗАТЬ
AH : HD = 3 
РЕШЕНИЕ
HD = (b - a)/2 = (2a - a)/2 = a/2
AH = b - HD = 2*a - a/2 = 3/2*a
AH : HD  = 3/2 : 1/2 = 3 - ЧТД - что и требовалось доказать.
Рисунок к задаче в приложении.
В общем виде высота делит основание в отношении: (b+a)/(b-a).
Задача б) 
ДАНО
ВС = 16 - малое основание
 АВ = CD = 10 - ,боковая сторона  равнобедренной трапеции.
АD = 2*BC = 32 - основание в 2 раза больше.
OM = MD - точка М - середина отрезка диагонали.
НАЙТИ
CM=? - отрезок от вершины С  до М.
РЕШЕНИЕ
Рисунок к задаче в приложении.
ΔBOC ≈ ΔAOD - подобны по двум углам при основаниях.
Коэффициент подобия
k = AD/BC = 32/16 = 2 
Отсюда следует, что точка М - середина OD = OB.
Рассмотрим другие подобные треугольники - 
ΔBGD ≈ ΔMHD.
По пункту  а) задачи получаем - высота делит основание:
HD = AG = (32-16)/2 = 8.
Вспоминаем Пифагора и его треугольник - 3:4:5.
Вычисляем "в уме" высоту
BG = 6
ΔBGD ≈ ΔMHD - по двум углам (один из них 90°)
Коэффициент подобия
BG/MH = DG/HD = 6/(16+8) = 1/3
MH = 1/3* BG  = 6/3 = 2 и .......
СМ =  СН - МН = 6 - 2 = 4 - ОТВЕТ

---

---