Мы поехали проведать бабушку и остались у бабушки погостить.
Нужно заменить второе слово "бабушки" местоимением "неё"
Итог:
Мы поехали проведать бабушку и остались у неё погостить.
Служебные части речи: и (союз), у (предлог).
В предложении не встретилась служебная часть речи под названием "частица".