В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16...

Question

В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников.Никакие двое из них не набрали одинакового кол-во баллов. 1) Мог ли чащийся, занявщй 1-ое место,набрать 25 баллов, если вместе все ученики набрали 281 балл? 2)Мог ли учащийся, занявший 1-ое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 219 баллов,но каждый набрал более 5 баллов? 3)Сколько было презёров, если известно,что каждый из ни набрал не менее 24 баллов,но не более 30, а вместе они набрали 138 баллов

Answer 1

1. Если участник, занявший 1 место набрал 25 баллов, то оставшиеся участники вместе набрали 281-25=256 баллов. Поскольку никакие два из них не набрали одинаковое число баллов, то достаточно рассмотреть сумму 15-ти различных натуральных чисел, отличающихся друг от друга на единицу. К примеру:

1+2+3+4+5+6+7+...+15=16*7+8=120. Поскольку 120<256, то участник, занявший первое место мог набрать 25 баллов.<br>

2. В этом случае оставшиеся участники набирают вместе 219-25=194 балла. Поскольку каждый набрал более 5 баллов, рассматриваем последовательность 15-ти различных натуральных чисел, начинающуюся с шестерки, числа по прежнему отличаются друг от друга на единицу.

6+7+8+9+10+11+12+...+20=26*7+13=195. Поскольку 195>194, то получаем противоречие. Следовательно, в этом случае участник, занявший первое место не мог набрать 25 баллов.

3. Поскольку каждый из призеров набрал 24≤n≤30, а в сумме они набрали 138 баллов, то достаточно рассмотреть последовательность 24,25,26,27,28,29 и 30. Замечаем, что 27+28+29+30=114. Приплюсовывая сюда число 24 получаем требуемую сумму 114+24=138. Следовательно призеров было 5.

Ответ: 1.Мог 2. Не мог 3. Пятеро.

Comments

спасибо большое!!!