** доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа,...

Question

На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 11, если сначала по одному разу были выписаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 24, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 151 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Answer 1

А) Да, например, можно стереть пары 2-10, 4-5, 6-9, 7-11. Останутся два числа: 3 и 8, сумма которых равна 11.

б) Нет. Заметим, что стирать можно пары, в которых одно число даёт остаток 1 при делении на 3, а другое — остаток 2 при делении на 3 (пары первого типа), или пары чисел, делящихся на 3 (пары второго типа). В исходной последовательности 18 чисел с остатком 1, 17 с остатком 2 и 17 делящихся на 3. Тогда, чтобы осталось два числа, надо стереть 17 пар первого типа и 8 пар второго типа, останется одночисло, дающее остаток 1 при делении на 3, и одно число, делящееся на 4. Их разность не может делиться на 3.

в) Мы знаем остатки чисел, которые должны остаться. Максимальное чистное будет, если будем делить максимальное число с остатком 1 на минимальное с остатком 0 или максимальное с остатком 0 на минимальное с остатком 1. Посмотрим, что из этого больше.
Макс(0) = 150, мин(0) = 102; макс(1) = 151, мин(1) = 100. 150/100 = 1,5; 151/102 = 1,48... < 1.5. Значит, чтобы частное было максимальным, нужно оставить числа 150 и 100.

Вот как это сделать: стираем пары вида (6n, 6n + 3) для n от 17 до 24 и пары вида (3n + 2, 3n + 4) для n от 33 до 49

Ответ. а) да, б) нет, в) 1,5.