Решите пожалуйста !!! У меня получилось x=2, y=3 правильно ?

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть
$t=3 ^{x} ; \\ u=2 ^{y}$

Система уравнений примет вид
$\left \{ {{t*u=72} \atop {t+u=17}} \right.$

Из первого уравнения выразим u=72/t и подставим во второе $t+ \frac{72}{t} =17$ , обе части которого умножим на t:
$t^{2} +72=17t$ или $t^{2} -17t+72=0$

Получилось квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:
$D= 17^{2} -4*1*72=289-288=1$
Отсюда:
$t_{1} = \frac{17+ \sqrt{1} }{2*1} =9 \\ t_{2} = \frac{17- \sqrt{1} }{2*1} =8$
и
$u_{1} = \frac{72}{9} =8 \\ u_{2} = \frac{72}{8} =9$

Делаем обратную замену
$t _{1} = 3^{x_{1}} =9; x_{1}=2$
$u_{1}=2 ^{y_{1}} =8; y_{1}=3$

Это одно решение, но есть и второе:

$t _{2} = 3^{x_{2}} =8; ln3^{x_{2}} =ln8; x_{2}*ln3=ln8; x_{2}= \frac{ln8}{ln3}$
$u _{2} = 2^{y_{2}} =9; ln2^{y_{2}} =ln9; y_{2}*ln2=ln9; y_{2}= \frac{ln9}{ln2}$
Можно прологарифмировать по другому:
$t _{2} = 3^{x_{2}} =8; log _{3} 3^{x_{2}} =log _{3}8; x_{2}*log _{3}3=log _{3}8; x_{2}= log _{3}8$
$u _{2} = 2^{y_{2}} =9; log _{2} 3^{x_{2}} =log _{2}9; x_{2}*log _{2}2=log _{2}9; x_{2}= log _{2}9$

Проверка
$3 ^{log _{3}8} *2^{log_{2}9}=8*9=72$

Итак,
1) x = 2; y = 3
2) $x=log_{2}9$ и $y=log_{3}8$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 17 Май, 18