Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
1. Постановка задачи численного дифференцирования
2. Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона
3. Оценка погрешности дифференцирования с помощью многочлена Ньютона
4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
5. Оценка погрешности численного дифференцирования с помощью многочлена Лагранжа
Постановка задачи численного дифференцирования
Функция y = f(x) задана таблицей:
xx0x1...xnyy0y1...yn
на отрезке [a; b] в узлах a = x0 < x1 < x2 < : . Требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке х* [a; b]. При этом х* может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами.
· Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона
Считая узлы таблицы равноотстоящими, построим интерполяционный полином Ньютона. Затем продифференцируем его, полагая, что f '(x) φ'(x) на [a; b]:
(1)
Формула значительно упрощается, если производная ищется в одном из узлов таблицы:х* = xi = x0 + ih:
(2)
Подобным путём можно получить и производные функции f (x) более высоких порядков. Однако, каждый раз вычисляя значение производной функции f (x) в фиксированной точке х в качестве х0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.
· Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
Запишем формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов в более удобном виде для дифференцирования:
Затем, дифференцируя по х как функцию от t, получим:
Пользуясь этой формулой можно вычислять приближённые значения производной таблично-заданной функции f (x) в одном из равноотстоящих узлов.
Аналогично могут быть найдены значения производных функции f(x) более высоких порядков.