Задание ** рисунке под номером 331, пожалусто по подробнее а то у меня не сходится когда...

Question 1

Задание на рисунке под номером 331, пожалусто по подробнее а то у меня не сходится когда решаю

Question 2

Решите задачу:

$a)\; \; y=\sqrt{2x}\; \; \to \; \; y^2=2x\; \; \to \; \; x=\frac{y^2}{2}\\\\b)\; \; y= \frac{x}{2}-1\; \; \to \; \; \frac{x}{2}=y+1\; \; \to \; \; x=2y+2 \\\\c)\; \; \int\limits^8_0\, dx \int\limits^ {\sqrt{2x}}_{\frac{x}{2}-1} \, dy=\int\limits^0_{-1}\, dy\int\limits^{2y+2}_{0} \, dx + \int\limits^3_0\, dy \int\limits^{2y+2}_{\frac{y^2}{2}} \, dx +\int\limits^4_3\, dy \int\limits^{8}_{\frac{y^2}{2}}\, dx =$

$=\int\limits_{-1}^0\, dy\Big (x\Big |_0^{2y+2}\Big )+\int\limits^3_0\, dy\Big (x\Big |_{\frac{y^2}{2}}^{2y+2}\Big )+\int\limits^4_3\Big (x\Big |_{\frac{y^2}{2}}^8\Big )\, dy=$

$= \int\limits^0_{-1}(2y+2)dy+\int\limits^3_0(2y+2-\frac{y^2}{2})dy+\int\limits^4_3(8-\frac{y^2}{2})dy=$

$=(y^2+2y)\Big |_{-1}^0+(y^2+2y-\frac{y^3}{6})\Big |_0^3+(8y-\frac{y^3}{6})\Big |_3^4=\\\\=0-(1-2)+(9+6-\frac{27}{6}-0)+(32-\frac{64}{6}-0)-(24-\frac{27}{6})=\\\\=1+10,5+\frac{64}{3}-24+4,5=-8+\frac{64}{3}= \frac{40}{3} \; ;$

$d)\; \; \int\limits^8_0\, dx \int\limits_{\frac{x}{2}-1}^{\sqrt{2x}} \, dy= \int\limits^8_0\, dx \Big (y\Big |_{\frac{x}{2}-1}^{\sqrt{2x}}\Big )= \int\limits^8_0\Big (\sqrt{2x}-\frac{x}{2}+1\Big )\, dx =\\\\=\Big (\sqrt2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3/2}- \frac{x^2}{4} +x\Big )\Big |_0^8= \frac{2\sqrt2\cdot \sqrt{8^3}}{3} -\frac{64}{4}+8=\\\\= \frac{2\sqrt2\cdot (2\sqrt2)^3}{3}-16+8= \frac{2\sqrt2\cdot 8\cdot 2\sqrt2}{3} -8= \frac{64}{3}-8= \frac{40}{3}\; ;$