Геометрический определенный интеграл

Question

Дан 1 ответ

luntoly_zn · Answer 1 · 2018-05-16T23:18:49+0000

Геометрический смысл определённого интеграла - это площадь криволинейной трапеции, которая ограничена линиями $y = 0$ , $x_1 = a$ , $x_2 = b$ и $y = f(x)$
Если известны a и b, а также функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ , то определённый интеграл этой функции находится по формуле Ньютона - Лейбница:
$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$
В 4 у Вас не дано дано b, то есть определённый интеграл найти не получится. Он будет просто равен бесконечности. Поэтому найдём просто неопределённый:
$\displaystyle \int (x^3 - 1) dx = \int x^3 dx - \int dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} - x +C = \frac{x^4}{4} - x + C$
5. Запишем определённый интеграл для $y = f(x) = \frac{1}{x}$ :
$\displaystyle \int\limits^b_a { \frac{1}{x} } \, dx = \int\limits^6_1 { \frac{1}{x} } \, dx = ln(x)\bigg | _1^6 = ln(6) - ln(1) = ln(6)$
Примечание: как ты мог заметить, я написал вертикальную черту после логарифма. Она означает, что я уже нашёл первообразную(проинтегрировал) и теперь буду брать значения от 1 до 6. Также записываем определённый интеграл:
$\displaystyle \int\limits^2_0 {2^{-x}} \, dx = \frac{2^{-x}}{ln(2)} \bigg |_0^2 = \frac{2^{-2}}{ln(2)} - \frac{2^0}{ln(2)} = \frac{1}{4ln(2)} - \frac{1}{ln(2)} = - \frac{3}{4ln(2)}$