Решить данное задание:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Значения sin(a), cos(a), tg(a), ctg(a) , где $a \in (0; \frac{\pi}{2} )$ - положительные.
используем формулу суммы углов:
$cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb$
тогда:
$cosa*cosb-sina*sinb=- \frac{2}{7} \\cosa= \frac{1}{9}$
находим sina по основному тригонометрическому тождеству:
$sin^2a+cos^2a=1 \\sina=\sqrt{1-cos^2a}=\sqrt{1- \frac{1}{81} }=\sqrt{ \frac{80}{81} }= \frac{\sqrt{80}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$
подставляем:
$\frac{1}{9}*cosb-\frac{4\sqrt{5}}{9}*sinb=-\frac{2}{7}$
так как мы знаем, что в данной задаче значения этих функций положительны, то можем выразить cosb через основное тригонометрическое тождество:
$cosb=\sqrt{1-sin^2b}$
подставляем:
$\frac{1}{9}*\sqrt{1-sin^2b}-\frac{4\sqrt{5}}{9}*sinb=-\frac{2}{7}$
для удобства сделаем замену:
$sinb=y,\ y \in [0;1]$
теперь решаем это уравнение:
$\frac{1}{9}*\sqrt{1-y^2}-\frac{4\sqrt{5}}{9}*y=-\frac{2}{7} \\\sqrt{1-y^2}-4\sqrt{5}*y= -\frac{18}{7} \\\sqrt{1-y^2}=-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*y$
возводим обе части в квадрат:
$1-y^2=(4\sqrt{5}*y-\frac{18}{7})^2 \\1-y^2= 80y^2- \frac{4\sqrt{5}*18*2*y}{7} + \frac{324}{49} \\1-y^2=80y^2- \frac{144\sqrt{5}}{7} *y+\frac{324}{49} \\81y^2-\frac{144\sqrt{5}}{7} *y+\frac{324}{49} -1=0 \\81y^2-\frac{144\sqrt{5}}{7} *y+ \frac{275}{49} =0$
но:
$-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*y \geq 0$
теперь решаем это квадратное уравнение:
$D=(-\frac{144\sqrt{5}}{7})^2-4*81*\frac{275}{49}= \frac{144^2*5}{49} - \frac{4*81*275}{49} = \frac{144^2*5-4*81*275}{49} = \\= \frac{14580}{49} = (\frac{54\sqrt{5}}{7} )^2 \\y_1= \frac{\frac{144\sqrt{5}}{7}+\frac{54\sqrt{5}}{7} }{2*81} = \frac{ \frac{198\sqrt{5}}{7} }{162}= \frac{198*\sqrt{5}}{7*162} = \frac{11\sqrt{5}}{63} \\y_2=\frac{\frac{144\sqrt{5}}{7}-\frac{54\sqrt{5}}{7} }{2*81}= \frac{ \frac{90\sqrt{5}}{7} }{162} = \frac{90\sqrt{5}}{7*162} = \frac{5\sqrt{5}}{63}$
проверяем:
$-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*\frac{11\sqrt{5}}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7}+ \frac{44*5}{63} \geq 0 \\\frac{220}{63}-\frac{18}{7} \geq 0 \\ \frac{58}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*\frac{5\sqrt{5}}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7}+ \frac{100}{63} \geq 0 \\\frac{100}{63}-\frac{18}{7} \geq 0 \\ -\frac{62}{63} \geq 0$
значит корень y2 не подходит.
В итоге мы получили, что:
$sinb=\frac{11\sqrt{5}}{63}$
теперь ищем cosb:
$cosb=\sqrt{1-sin^2b}=\sqrt{1-(\frac{11\sqrt{5}}{63} )^2}=\sqrt{1- \frac{11^2*5}{63^2} }=\sqrt{ \frac{63^2-11^2*5}{63^2} }=\\= \sqrt{\frac{3364}{63^2} }=\sqrt{ \frac{58^2}{63^2} }= \frac{58}{63}$
Ответ: 58/63

AnonimusPro_zn (149k баллов) 16 Май, 18