Старик-подлежащее...
Поёт-сказуемое...
Беспечно(как?)-обстоятельство...
Песню-дополнение...
Весёлую-определение...
Если брать словосочетание "беспечно весёлую" и отнести его к одной части речи,то это может стать определением...
Песню(какую?)-беспечно весёлую...
Вывод:да,это обстоятельство-"беспечно" или определение"беспечно весёлую"...
Удачи тебе!*)_