Даны уравнения двух сторон треугольника 5х+4у+15=0 и 4х+у-9=0
Его медианы пересекаются в точке (0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.
Решение: Уравнение двух сторон треугольника нам известны
5х + 4у + 15 = 0 <=> y = -(5x + 15)/4
4х + у - 9 = 0 <=> y = 9 - 4x
Найдем одну из вершин треугольника, для этого найдем точку пересечения этих прямых
(5x + 15)/4 = 4x - 9
5x + 15 = 16x - 36
11x = 51
x = 51/11
y = 9 - 4х =9 - 4*51/11= -105/11
Точка пересечения медиан треугольника определяется по формуле: (х₁ + х₂ + х₃)/3=х ,
(у₁ + у₂ + у₃)/3=у
где (x₁;у₁),(x₂;у₂),(x₃;у₃) - координаты вершин треугольника
Подставим в эти уравнения известные координаты:
(х₁ + х₂ + х₃)/3=х
51/11 + х₂ + х₃ = 3*0
х₂ + х₃= -51/11
(у₁ + у₂ + у₃)/3=у
-105/11 + у₂ + у₃ = 3*2
у₂ + у₃ = 171/11
Так как y₂=-(5x₂ + 15)/4, a y₃ = 9 - 4x₃
то можно записать что
у₂ + у₃= -(5x₂ + 15)/4 + 9 - 4x₃ = 171/11
Получили систему уравнений
{х₂ + х₃= -51/11
{-(5x₂ + 15)/4 + 9 - 4x₃ = 171/11
Умножаем первое уравнение на 5 второе уравнение на 4
{5х₂ + 5х₃= -255/11 <=> {5х₂ + 5х₃ = -255/11
{-5x₂ - 15 + 36 - 16x₃ = 684/11 {-5x₂ - 16x₃ = 453/11
Суммируем первое и второе уравнение
5х₂ + 5х₃ = -255/11
-5x₂ - 16x₃ = 453/11
--------------------------
-11х₃ = 198/11
x₃= -18/11
Из первого уравнения находим х₂
х₂= -51/11 - х₃= -51/11 + 18/11 = -33/11 = -3
y₂ = -(5x₂ + 15)/4 = -(5*(-3) + 15)/4 = 0
y₃ = 9 - 4x₃ = 9 - 4*(-18/11) = 9 + 72/11 = 171/11
Получили координаты оставшихся вершин треугольника
(-3;0), (-18/11; 171/11)
Запишем уравнение третьей стороны как уравнение прямой проведенной через две точки
(y - y₂)/(y₃ - y₂) = (x - x₂)/(x₃ - x₂)
(y - 0)/(171/11 - 0) = (x + 3)/(-18/11 +3)
11y/171 = 11(x +3)/15
y/171 = (x + 3)/15
у/57 = (х + 3)/5
у = 57(х + 3)/5
57x - 5y +171 = 0
Проверка
x₁ = 51/11, x₂ = -3, x₃ = -18/11
(х₁ + х₂ + х₃)/3 = (51/11 - 3 - 18/11)/3 = (33/11-3)/3 = (3 -3 )/3 = 0
y₁ = -105/11, y₂ = 0, y₃ = 171/11
(y₁ + y₂ + y₃)/3 = (-105/11 + 0 + 171/11)/3 = (66/11)/3 = 6/3 = 2