Докажите, что для любых натуральных чисел k и n справедливо равенство:

Можно воспользоваться биномом Ньютона:
$C _{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)! k!}$
Левую и правую часть представим в виде разложения бинома:
$kC _{n}^{k} = \frac{k*n!}{(n-k)! k!}= \frac{n!}{(n-k)! (k-1)!}$
$nC _{n-1}^{k-1} =\frac{n*(n-1)!}{(n-1-(k-1))! (k-1)!}=\frac{n!}{(n-k)! (k-1)!}$
Как видим, оба выражения совпадают.