Рассмотрим треугольники NMP и PKN. У них:
MP= NK и MN= PK - по условию,
NP - общая сторона.
Значит, треугольник NMP равен треугольнику PKN по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам и углу между ними) .
Из равенства треугольников следует, что угол MPN равен углу KNP, а угол MNP равен углу KPN.
Дальше или: Угол MPK = угол MPN + угол KPN = угол KNP + угол MNP = угол MNK, что и требовалось доказать.
Или: т. к. угол MPN равен углу KNP, то MP || NK по признаку параллельности прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) .
Тогда в четырехугольнике MPKN: MP = PK и MP || NK. Значит, MPKN - параллелограмм по признаку (если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм) . Тогда угол MPK = углу MNK, т. к. противолежащие углы параллелограмма равны (по свойствам параллелограмма).