Мой папа работает в хирургическом отделении клиники. a surgical department (здесь в конце слова department не должно быть "s",так как во множеством числе артикль "а" НИКОГДА не употребляется - это опечатка , возможно.
1) a surgical department - стоит неопределенный артикль " а", так как первое слово словосочетания - прилагательное (а red pencil, a happy day )
2)of the clinic - в этом случае употребляется определённый артикль "the", так как папа работает в определённой клинике , а не в любой.