Десятичная система счисления - система, в основании которой лежит число 10. Любое число может быть представлено в виде суммы различных, последовательно убывающих, степеней числа 10 с множителями от 0 до 9. Например:
428₁₀ = 4*10² + 2*10¹ + 8*10⁰ = 400 + 20 + 8
2376₁₀ = 2*10³ + 3*10² + 7*10¹ + 6*10⁰= 2000 + 300 + 70 + 6
В самой записи числа степени основания системы опускаются, и записываются только множители.
Практически любое число может быть записано в любой системе счисления.
Однако, для систем счисления, в основании которых лежат числа, большие 10, необходимо ввести обозначения для коэффициентов 10; 11; 12; 13 и т.д. Например, в шестнадцатеричной системе счисления в качестве коэффициентов при степени основания системы используются числа от 0 до 15. Для 10 вводится обозначение А, для 11 - В, для 12 - С и т.д.
Число 332 в шестнадцатеричной системе счисления будет выглядеть так :
332₁₀ = 1*16² + 4*16¹ + 12*16⁰ = 14С₁₆
Двоичная система счисления имеет в своем основании число 2, и все числа представляются в виде суммы последовательно убывающих степеней числа 2 с множителями 0 и 1.
Например,
332₁₀ = 1*2⁸ + 0*2⁷ + 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ =
= 101001100₂
Таким образом, для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную необходимо взять ближайшую к данному числу степень двойки:
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
2⁸ = 256 и т.д.
Допустим, нам нужно перевести число 82 в двоичную запись.
Ближайшая степень двойки - 2⁶ = 64
Поэтому пишем:
82₁₀ = 1*2⁶ + ...
Так как 82 - 64 = 18, то пятой степени двойки в записи нет
(2⁵ = 32, а у нас только 18). Поэтому дальше пишем 0*2⁵
82₁₀ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + ...
Следующая степень двойки - 2⁴ = 16. Пишем далее 1*2⁴
82₁₀ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + ...
У нас осталось 2. Это 2¹ = 2, поэтому ни 2³ = 8, ни 2² = 4 в записи нет.
82₁₀ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + ...
Число составлено:
82 = 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 = 82
Однако, осталась последняя степень двойки, - нулевая, которую в записи числа необходимо отобразить: 0*2⁰
82₁₀ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
Теперь записываем в ряд множители, стоящие перед степенями двойки:
82₁₀ = 1010010₂
Это и есть число 82, записанное в двоичной системе счисления.
Есть другой способ перевода числа из десятичной записи в двоичную Для этого его необходимо
последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток,
меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как
последовательность последнего результата деления и остатков от деления в
обратном порядке:
82 : 2 = 41 : 2 = 20 : 2 = 10 : 2 = 5 : 2 = 2 : 2 = 1
82 40 20 10 4 2
---- ---- ---- ---- --- ---
0 1 0 0 1 0
Теперь записываем результат и остатки в обратном порядке:
82₁₀ = 1010010₂
PS. Все перечисленные системы счисления являются позиционными, в отличие от непозиционной (например, римской системы счисления). То есть от положения цифры в записи числа зависит величина, которую эта цифра обозначает: в числе 10 единица обозначает количество десятков, а в числе 1000 та же единица обозначает количество тысяч.