Раскрываем модуль.
а) при x ≥ 0 имеем x^2 - 7x + 6 ≤ 0
В нуль выражение обращается при x = 1 и x = 6. Определяется как обычно, через дискриминант, как если бы решали уравнение:
D = (-7)^2 - 4*1*6 = 25.
x1,2 = (7 ± √25)/2
Выражение не больше нуля при x ∈ [1; 6], что проверяется простой подстановкой значений вне и внутри интервала.
б) при x ≤ 0 имеем x^2 + 7x + 6 ≤ 0
В нуль выражение обращается при x = -1 и x = -6. Определяется аналогично предыдущему случаю.
Выражение не менее нуля при x ∈ [-6; -1]. Тоже легко проверить подстановкой, допустим, при x = 0 (вне интервала) выражение больше нуля, а при x = -2 (внутри интервала) выражение меньше нуля.
Итак, объединяем решения: x ∈ [-6; -1] ∪ [1; 6]
2. y = 1 -2x -x^2
Проведём анализ на экстремум (минимум), для чего надо взять производную, приравнять её нулю и решить.
y' = -2 - 2x = 0, откуда x = -1. В этой точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это локальный максимум.
Теперь надо проверить значения на концах интервала.
y(-2) = 1 - 2*(-2) - (-2)^2 = 1
y(2) = 1 - 2*2 - 2^2 = -7
Итак, на интервале [-2; 2] наименьшее значение функции y=-7 в точке x=2.
Можно было рассуждать по-другому. Т.к. задана парабола, причём её ветви направлены вниз. Значит, вершина параболы есть максимум.
Если найти абсциссу вершины по формуле
x0 = -b/2a = -(-2)/(2*(-1)) = -1. Точка попадает в заданный интервал, в точке максимум, значит, на одном из концов интервале будет минимальное значение. Значения на концах интервала найдено ранее.
Так и так получается, максимум в точке x=-1, а минимальное значение функции на интервале [-2; 2] равно y = -7.