7б) ∫dx/((2-3x)^(1/3))
Замена u=2-3x; du=-3dx; dx=-(1/3)du
∫ = ∫(-1/3)du/(u^(1/3)) = -(1/3)*(3/2)*u^(2/) = -(1/2)u^(2/3) = -(1/2)(2-3x)^(2/3) + C
7а) ∫(x√x)/(x^3/4) dx = ∫x^(3/4) dx = (4/7)*x(7/4) + C
7в) ∫(2x+1)cos(x)dx = 2∫x cos(x) dx + ∫cos(x) dx
Первый интеграл берём по частям: ∫udv=uv-∫vdu
u=x; dv=cos(x)dx;
du=dx; v=sin(x);
2∫xcos(x)dx=2(xsin(x) - ∫sin(x)dx) = 2xsin(x) + 2cos(x)
Возвращаемся к месту, где прервались на вычисление первого интеграла: 2∫xcos(x)dx + ∫cos(x)dx = 2x sin(x) + 2cos(x) + sin(x) + C
8а) ∫((x-1)^2)/x^2 dx = ∫(x^2 - 2x + 1)/x^2 dx = ∫(1 - 2/x + 1/x^2) dx = x - 2ln(x) - 1/x
Подставляем пределы интегрирования: x1=2; x1=1
∫ = F(2)-F(1) = 2-2ln(2)-1/2 -1+2ln(1)+1 =3/2 -2ln(2)
8б) ∫4((sin(x))^3) cos(x) dx = ∫4((sin(x))^3)d(sin(x)) = (sin(x))^4
Подставляем пределы интегрирования:
∫ = F(pi/3)-F(pi/4) = (sin(pi/3))^4 - (sin(pi/4))^4 = (√3/2)^4 - (√2/2)^4 = 9/16 - 4/16 = 5/16 =0.3125