Метод математической индукции состоит из 3 компонентов:
1) проверяем данное равенство для n = 1
2) допускаем справедливость данного равенства для n = k
3) доказываем справедливость данного равенства для n = k+1
и всё : равенство доказано ( или нет)
начали.
доказать:
1/(1*3) + 1/(3*5) + ... +(1/(2n -1)(2n+1) = n/(2n +1)
Доказательство:
1) проверим справедливость данного равенства для n = 1
1/(1*3) = 1/(2*1+1) ( верное равенство)
2) пусть справедливо равенство:
1/(1*3) + 1/(3*5) + ... +1/(2k -1)(2k+1) = k/(2k +1)
3) надо доказать, что справедливо данное равенство для n = k+1
т.е.
докажем, что
1/(1*3) + 1/(3*5) + ... +1/(2(k+1) -1)(2(k+1) +1) =( k+1)/(2(k+1) +1)== (k+1)/(2k+3)
1/(1*3) + 1/(3*5) + ... +1/(2k +1) (2k+3) - здесь (k+1) членов.
1/(1*3) + 1/(3*5) + ... +1/(2(k+1) -1)(2(k+1) +1) =
= k/(2k +1) +1/(2(k+1) -1)(2(k+1) +1) = k/(2k +1) + 1/((2k+1)((2k+3)) =
= (k(2k+3) + 1)/((2k+1)((2k+3)) = (2k² + 3k +1)/((2k+1)((2k+3))=
=2(k +1/2)(k+1) /((2k+1)((2k+3)) = (2k +1)( k +1)/((2k+1)((2k+3))=
= (k +1)/(2k +3) что и тр. доказать.