Xy'+y=cosx Диф уравнение первого порядка ПОМОГИТЕЕЕЕ

$xy'+y=cosx\; |:x\ne 0\\\\y'+\frac{y}{x}=\frac{cosx}{x}$

Линейное дифф. уравнение 1 порядка.
Ищем решение в виде произведения:

$y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}= \frac{cosx}{x} \\\\u'v+u(v'+\frac{v}{x})= \frac{cosx}{x} \\\\a)\; \; \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v} =-\int \frac{dx}{x} \\\\ln|v|=-ln|x|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; v=x^{-1}=\frac{1}{x}\\\\b)\; \; u'\cdot \frac{1}{x} = \frac{cosx}{x} \\\\ \frac{du}{dx} =cosx\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \int du=\int cosx\, dx\\\\u=sinx+C\\\\c)\; \; y=\frac{1}{x}\cdot (sinx+C)$