В арифметической прогрессии разность тридцать первого и десятого членов составляет 42, а...

Задание. В арифметической прогрессии разность тридцать первого и десятого членов составляет 42, а сумма первых пятнадцати членов равна -150. С какого номера начинаются положительные члены этой прогрессии?
Решение:
По условию $a_{31}-a_{10}=42$ . Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$ , получим $a_1+30d-(a_1+9d)=42$ или же после упрощений $21d=42$ откуда $d=2.$
$S_{15}=-150.$ . Сумма первых n членов арифметической прогрессии : $S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$ , т.е. сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии: $S_{15}= \dfrac{2a_1+14d}{2}\cdot15=-150$ или же после упрощений $a_1+7d=-10$
Поскольку $d=2,$ то $a_1+7\cdot2=-10$ откуда $a_1=-24.$

Найти нужно с какого номера начинаются положительные члены этой прогрессии, т.е. $a_n\ \textgreater \ 0$

$a_n=a_1+(n-1)d=-24+(n-1)\cdot2=2n-26\ \textgreater \ 0\\ 2n\ \textgreater \ 26\\ n\ \textgreater \ 13$

С 14 номера начинаются положительные члены арифметической прогрессии.

Ответ: 14.